Bayesian istatistik, geleneksel istatistik yöntemlerinden farklı bir yaklaşım sunar ve belirsizlikle başa çıkma konusunda güçlü bir araçtır. Bu yazıda, Bayesian istatistiğin temel konseptlerini ve MCMC yöntemlerini anlamaya odaklanacağız.
1. Bayes Teoremi
Bayesian istatistiğin temel taşı olan Bayes teoremi, bir olayın olasılığını güncellemek için kullanılır. Temel formül şu şekildedir:
P(A|B)=P(B|A)⋅P(A) / P(B)
Burada:
- P(A|B): B şartı altında A’nın olasılığı (Posterior).
- P(B|A): A şartı altında B’nin olasılığı (Likelihood).
- P(A): A’nın önceden bilinen olasılığı (Prior).
- P(B): B’nin olasılığı.
2. Bayesian İstatistik Temelleri
2.1 Prior, Likelihood ve Posterior
- Prior (Önceki): Belirli bir olayın olasılığına dair önceden bilinen bilgi. P(A)
- Likelihood (Olasılık): Veri setinin, belirli bir durumun gözlemlenme olasılığı. P(B|A)
- Posterior (Sonradan): Likelihood ve prior’un birleşimiyle elde edilen, güncellenmiş olayın olasılığı. P(A|B)
2.2 Bayesian Analiz Adımları
- Prior Belirleme: Olaya dair önceki bilgileri içeren prior’un belirlenmesi.
- Likelihood Belirleme: Veri setine dair olasılıkların belirlenmesi.
- Posterior Hesaplama: Bayes teoremi kullanılarak posterior’un hesaplanması.
3. MCMC (Markov Chain Monte Carlo)
Markov Chain Monte Carlo (MCMC), karmaşık olasılık dağılımlarını çıkarmak için kullanılan bir yöntemdir. Temel adımları şunlardır:
- Markov Zinciri Oluşturma: Parametrelerin durumlarını temsil eden bir zincir oluşturulur.
- Monte Carlo Simülasyonu: Zincir, parametrelerin belirli bir olasılık dağılımını çıkarmak için kullanılır.
- Eşik Değerlendirme: Zincir, belirli bir süre sonunda sabit bir dağılıma ulaşana kadar çalışır.
MCMC, özellikle Bayesian analizlerde karmaşık modellerin çıkartılması için yaygın olarak kullanılmaktadır.